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一、证明题

1． 求

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

即

于是由式(1) 可得

再在式(1) 中，令

可得

2． 设集

证明:复合函数【答案】设点存在又且

其中

使对一切

在xy 平面中的点集E 上一致连续

在D 上一致连续，

在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要

在E 上一致连续，因此，对上述的时，有

因此

故复合函数

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把点集E 映射为平面中的点

在D 上一致连续，

从而对任给的就有

存在

使当

在E 上一致连续.

二、解答题

3． 求

【答案】用

之和。

表示级数的前n 项部分和，则

故

4． 求

【答案】由分部积分可得

令

则

所以

故得

5． 设函数

【答案】

6． 求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量：(1) 半径为R 的圆关于其切线的转动惯量：(2) 边长为a 和b ， 且夹角为妒的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.

【答案】(1) 如图1.

设切线为

从而

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在点x 三阶可导，

且

若f （x

）存在反函数

试用

其密度为

对任一点P

到

的距离为

图1

(2) 如图2, 设密度为

于是

图

2

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