2018年东北财经大学数量经济学801经济学之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
这表明:
服从参数为1的指数分布.
2． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
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的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
3． 设随机变量
【答案】若随机变量而
，这两个常数因子的乘积为1. 证明
则
也服从
相差一个常数因子，
从而
这就证明了
且X 与Y
4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
5． 设
因为
的特征函数，由唯一性定理知
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
6． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
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所以由X 与Y 的独立性得
，则诸同分布，且由
，所以有
，知|
存在且相等，
的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，
这就证明了
7． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
8． 设
是来自两参数指数分布
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
的充分统计量•
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
二、计算题
9． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得
试用两个标准分别建立一元回归方程.
【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为
（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为
比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距.
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