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2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研核心题库

  摘要

一、证明题

1. 设X 为非负连续随机变量,若

(2)

存在,试证明:

【答案】(1)因为X 为非负连续随机变量,所以当x<0时,有F (x )=0.公式得

(2)因为X 为非负连续随机变量,所以X 也是非负连续随机变量,因此利用(1)可得

,则

2. 设

是来自

的样本,的密度函数为

已知,试证明,

于是

所以的费希尔信息量为

,这就是说

这就证明了

3. 证明:若明:

是是未知参数

的有效估计,从而也是UMVUE. 的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表的任一无偏估计的C 一R 下界为

,的有效估计,

从而也是UMVUE.

【答案】总体

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

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是0的无偏估计,则已知

由此立即可得

4. 设

几乎处处成立,即

几乎处处成立.

为独立随机变量序列,且

服从大数定律.

相互独立,且

服从大数定律. ,试证明:

由此可得马尔可夫条件

证明:

【答案】因为由马尔可夫大数定律知

5. 设随机变量

【答案】

6. 证明:若

由此写出独立,

因此F 变量r 阶矩为

容易算得

则当

其中

且v 与W 相互

时有

【答案】由F 变量的构造知

不存在.

从而可得当

时,只要

就有

在其他场合,

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当时,只要就有

7.

设总体

【答案】令

,则

是样本

,的矩估计和最大似然估计都是它也是的相

合估计和无偏估计,试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

对上式求导易知,当

8. 来自正态总体于对称,

【答案】记正态分布则容量为

的样本中位数

的分布函数与密度函数分别为

的密度函数为

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数同时还有

9. 设

是偶函数,从而

的方差

一致有界,即存在常数c 使得

的密度函数

关于

对称,

分别是标准正态分布

的分布函数与密度函数,依据它们的性质

时上式达到最小,最小值为的容量为

的样本中位数是

,它小于的均方误差

证明

.

的密度函数关

为独立的随机变量序列,证明:若诸服从大数定律.

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