2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1. 设X 为非负连续随机变量,若
(2)
存在,试证明:
【答案】(1)因为X 为非负连续随机变量,所以当x<0时,有F (x )=0.公式得
(2)因为X 为非负连续随机变量,所以X 也是非负连续随机变量,因此利用(1)可得
令
,则
2. 设
是来自
的样本,的密度函数为
已知,试证明,
是
于是
所以的费希尔信息量为
,这就是说
又
这就证明了
3. 证明:若明:
与
是是未知参数
的有效估计,从而也是UMVUE. 的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表的任一无偏估计的C 一R 下界为
,的有效估计,
从而也是UMVUE.
【答案】总体
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
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是0的无偏估计,则已知
由此立即可得
4. 设
几乎处处成立,即
几乎处处成立.
为独立随机变量序列,且
服从大数定律.
相互独立,且
服从大数定律. ,试证明:
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
5. 设随机变量
【答案】
6. 证明:若
由此写出独立,
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
与
则当
其中
且v 与W 相互
时有
【答案】由F 变量的构造知
不存在.
从而可得当
时,只要
就有
在其他场合,
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当时,只要就有
7.
设总体
【答案】令
,则
是样本
,的矩估计和最大似然估计都是它也是的相
合估计和无偏估计,试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知,当
8. 来自正态总体于对称,
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
9. 设
则
与
是偶函数,从而
的方差
一致有界,即存在常数c 使得
的密度函数
关于
对称,
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数,依据它们的性质
与
时上式达到最小,最小值为的容量为
的样本中位数是
,它小于的均方误差
证明
.
的密度函数关
为独立的随机变量序列,证明:若诸服从大数定律.
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