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一、证明题

1． 设

证明:

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

2． 设

令证明:且

服从

则

相互独立，

服从大数定律.

的独立性可得

【答案】因为

相互独立，服从

【答案】令

再令则

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式，可得

因为，

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

3． 设总体单随机样本. 证明:

（1）

是

的无偏估计量但

不是是

的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故

又即证

是的无偏估计量, 但

不是

的无偏估计量.

即证

4． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

由此可得马尔可夫条件

相互独立，且服从

（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中

是来自总体的简

（2）样本函数

【答案】 （1）由题意知, 又则

相互独立, 且

（2）由得

是的无偏估计.

【答案】因为所以

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

若

其中

则

而

6． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

所以

另一方面，

这就证明了

在区间

上服从均匀分布.

代入函数

的费希尔信息量存在，若二阶导数

对一切的

存在，

正是泊松分布的特征函数，故得证.

5． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为

所以当

的特征函数为

时，

7． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时,

下面求Y 的分布函数