2018年湖南师范大学958数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列第一型曲线积分:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
【答案】（1）
（2）右半圆的参数方程为
从而
（3）
-
（4）由于圆的参数方程为从而
（5）
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其中L 是以0 （0, 0）, A （1, 0）, B （0, 1）为顶点的三角形; 其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; 其中L 为椭圆其中L 为单位圆周
. 其中L 为螺旋线
, 其中L 是曲线
, 其中L 是
,
,
与z=y相交的圆周.
在第一象限中的部分;
的一段;
的一段;
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（6）
（7）其截线为圆
其参数方程为
9
2
．
边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成
【答案】如图所示, 静压力的微元
..
角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面, , 则
上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.
图
3． 求下列函数的偏导数:
（1）设f （x , y ）在R 上二阶连续可微,
,
求（2）设
, 其中f （u , v ）具有二阶连续偏导数
,
解得
对上式及解得
（2）令
’则z =f（u , v ）, 于是
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2
, 且
二阶可导,
求
【答案】（1）对f （x , 2x ） =x两边关于x
求导得
两边关于x 求导得
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4． 设
试研究f （x ）在【答案】∴
在
点的连续性.
处不连续.
5．
如图所示,
直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积.
图
【答案】椭圆柱面的方程为的性质有
, 解得
.. 于是
故所求体积
. 设垂直于
X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形
二、证明题
6． 设
, 其中
与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明【答案】当
时,
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