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一、综合题

1． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；

（2）求体积一定而表面积最小的长方体.

【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:

设

令

解得

因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u

设

令

解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

2． 设f （x , y , z ）在

上连续. 令

则

在[a, b]上连续. 【答案】分成两步来证. （1）记

因为f （x , y , z ）在有界闭区域上连续, 所以一致连续.

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则体积为

故表面积一

限制条

于是, 当

时, 有

上连续.

, 则

上连续知

, 在[a, b]上连续.

上连续, 而且

在

上连续,

对z 在[a, b]上取最小值得

由此知,

在

（2）令y = a +k（x －a ）, 其中由

在

用与（1）中相同的方法可证明

3． 设实值函数

及其一阶导数在区间

则

【答案】先来证明一个不等式, 一般称为

不等式, 即

设则

两边从a 到b 取积分, 有

由于等式右边对

都成立, 知

则

下面再来证明题目: （1）设

则由

公式有

即

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不等式成立.

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两边开方即得证. （2 ）同样由

公式有

即

等式两边从a 到b 积分得

所以原命题成立.

4

． 求下列极限:

（

1） （2）

【答案】（1）该极限是””型的不定式极限, 利用洛必达法则有

（2

）该极限是“”型的不定式极限, 利用洛必达法则有

5． 求由抛物线

与所围图形的面积.

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1）, 所围图形的面积为

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