2017年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设函数
连续，且满足
在该方程两端对x 求导，得
即
可见若记
又在方程
则有初值问题
上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解
且有代入初始条件
有
解得
x
【答案】由所给方程可得
的两端对x 求导，得
而不是
于是方程（1）
是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得
即于是得
2． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
，所以
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且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
的最小值.
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，所以t=2时，
3． 设可导函数
，，有最小值满足
，所以
，计算得t=2，则：
在在=2+1=3
求
。
上单调递增； 上单调递减.
=y+1，所以
【答案】在方程
即
且在原方程中取
可得
两端关于x 求导，得
由一阶线性方程的通解公式，得
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代入初始条件
可得
故
4． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
设令又
的最大值点, 这时, 即, 得驻点
, 则
,
所以驻点
为极大值点, 又驻点惟一,
因此
时, 力F 的大小为最小。
为函数
知
图
5． 讨论函数
【答案】因为
故f （x ）在x=0处连续。
不存在，故f （x ）在x=0处不可导。
6． 求椭球面
【答案】
设
上平行于平面
。已知平面的法向量为
所求切平面平行，得
代入椭球面方程得
，即
的切平面方程。
，
则曲面在点
处的一个法向量，由已知平面与
，在x=0处的连续性和可导性。
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