2017年湖南师范大学资源与环境科学学院602高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 当
时，
，问x 等于多少，可使得当
，要使
时，，
只要
，即
，
【答案】因为
，则当取时，就有。
2． 设a ，b ，c 为单位向量，且满足a ＋b ＋c=0，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a.
【答案】已知∣a ∣=∣b ∣=∣c ∣=1，a ＋b ＋c=0，故（a ＋b ＋c ）（a ＋b ＋c ）=0.即
·
因此
3． 求圆盘
绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
绕y 轴旋转所得
绕y 轴旋转所得的立体，因此
4． 设
【答案】
，而
5． 求锥面
【答案】由
被柱面
解得
所割下部分的曲面面积。
，
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【答案】这是一个圆环面，可以看作由图形的立体减去由图形
，求
故曲面在xOy 面上的投影区域（图）
图
被割曲面的方程为
于是所求曲面的面积为
6． 把星形线
所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体体积。
，
3
，所以对上述积分作换元x=acost ，便得
，则所求体积为曲线y=y（x ）与x 轴所围【答案】记x 轴上方部分星形线的函数为y=y（x ）成的图形绕x 轴旋转而成，故有
由于星形线的参数方程为
7． 求函数向的方向导数。
【答案】椭球面在点
处的沿法外线方向的一个向量为
，则
在椭球面
上点
处沿法外线方
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8． 计算下列三重积分：
（1）分；
（2）（3）所围成的闭区域。
【答案】（1）解法一：利用直角坐标，采用“先重后单”的积分次序。 由
解得
，于是用平面
把分成
和
两部分，其中
，其中是由球面
，其中是由xOy 平面上曲线
所围成的闭区域；
绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5
，其中是两个球：
和
的公共部
（图）
图
于是
解法二：利用球面坐标计算。作圆锥面
，将分成
和
两部分
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