2017年湖南师范大学资源与环境科学学院605高等数学基础之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 把积
分
表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
2
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为
，直线y=1的极
坐标方程为，用射线和将D 分成三部分
图
因此
2． 求下列函数的偏导数：
【答案】
3． 当是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积
与二重积分有什么关系:
恒
【答案】当为xOy 面内的一个闭区域时，的方程为z=0，因此在取值的为
且
。又在xOy 面上的投影区域即
为自身，因此有
4． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】
设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
5． 试决中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。
【答案】
令当当当
, 得
。
时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在
上是凹的; 上是凹的,
将己知点的坐
时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;
从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。