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一、计算题

1． 已知

【答案】因为

于是

2． 化三重积分

（l ）由双曲抛物面（2）由曲面:（3）由曲面:（4）由曲面。

及平面

为三次积分，其中积分区域

分别是:

，求当

时，

的值。

所围成的闭区域;

所围成的闭区域;

所围成的在第一卦限内的闭区域。

在

面上的投影区域由

及平面z=1所围成的闭区域; 及:

【答案】（1）的顶z=xy和底面z=0的交线为x 轴和y 轴，故x 轴、y 轴和直线

因此

所围成。于是几可用不等式表示为

（2）

由

（图1）

和

得

，所

以

在

面上的投影区域

为

可用不等式表示为

因此

图1 图2

（3）由（图2）。于是

消去z ，得

可用不等式表示为

因此

. 故

在

面上的投影区域为

（4）显然成，

在面上的投影区域由椭圆

可用不等式表示为

和x 轴、y 轴所围

的顶为cz=xy，底为z=0（图3）. 故

图

3

因此

3． 计算

其中为圆锥面

被平面的上侧，

则

围立体，则

所截下的有限部分的外侧。 构成封闭曲面的外侧，

令

为

所

【答案】由于积分曲面不是封闭曲面，故不能直接使用高斯公式，故作辅助平面

而平面

可知

，则

4． 利用递推公式计算反常积分

【答案】当n ≥1时，故有

。

，故

5． 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x l 和x 2的函数值: