2017年江西科技师范大学高等代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设多项式
的n 个根为
得
为f （x ）的判别式. 证明：f （x ）有重根的重要条件是
其中
【答案】因为
故f 有重根
2． 设性无关，则交
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
维数=（5）的解空间维数.
证明：
3． 设是数域P 上线性空间V 的线性变换，且
（1）（2）
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均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
维数为S ，维数为t. 又因为
（3）如果是V 的线性变换，且【答案】（1）所以故
则
于是
从而
则
都是的不变子空间，则
反之，因为
因为
所以
（3）先证事实上，
于是
由（2）可设
注意到
则
于是
故
4． 设二次型
其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求a ，b 的值；
（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1 （1）二次型f 的矩阵为
设A 的特征值为
由题设，有
是
子空间，
则
于是
则
注意到
是
子空间，
有
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解之得a=l，b=2
（2）由矩阵A 的特征多项式
得A 的特征值对于对于由于
解齐次线性方程组（2E-A ）X=0，得其基础解系
解齐次线性方程组（-3E-A ）X=0，得基础解系
已是正交向量组，因此将单位化，可得
令矩阵
则Q 为正交矩阵. 进而，在正交变换X=QY下，有
且二次型的标准形为
解法2 （1）二次型f 的矩阵为
则A 的特征多项式为
设A 的特征值为由题设得
解之，可得a=l，b=2.
（2）由（1）可得A 的特征值为
以下解法同解法1.
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则