2017年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 、曰为数域P 上的n 阶方阵，
证明：如果A 与曰相似，则【答案】（1）当又A 与b 相似，即因而
即（2）当令即
由式（1）可得t=0时也成立. 即
2． A 是n ×m 矩阵. 对
记
因
当
时，
所以
中元素为t 的多项式，有无穷多个数t 使该式成立，因而
时。
使
所以
与
分别为A 与曰的伴随阵，
与相似.
其中
试证下述Binet-Cauchy 公式：设A 为
阵，B 为
阵，则
【答案】易知
当p>q时，把（1）的右端按最后p 列展开，则在它的q+p行中任取p 行所组成的p 阶子式
中至少有p —q 个行是零向量. 由Laplace 定理知这个行列式为零. 这就证明了第一种情形.
当
时，仍将（1）的右端按最后P 列展开. 则
中不为零的P 阶子式最多有
个而其
中任意一个都是某个子式中的代数余子式恰好是
先求出特殊的子式
若能证明它在这个p+q阶行列式
则由Laplace 定理就可证明第二种情形. 的代数余子式. 把（1）的右端行列式作如下分块
其中
可看出
的代数余子式是
由于p （p+1）是偶数，
把上面行列式按最前面p 个列展开，得
结果
的代数余子式是
再来求任一P 阶子式
的代数余子式. 把（1）的右端行列式
中的前q 行的子矩阵中第后上面行列
式中的子式
就变成了
将变换后的行列式的前q
列的子矩阵中的第
变成了
行依次与第1行，第2行，…，第p 行对换. 这样变换
列对换到第1列，第2列，…，第p 列. 变换后，子式
原行列式变成如下的分块形状，
它的值与原行列式保持相等. 且其中
这就化到了前面的特殊情形. 这个行列式也等于原来行列式，它的子式
的代数余子式正是
以上就完成了第2种情形的证明.
3． 设是数域K 上线性空间V 到的一个同构映射.
证明：V 的子空间在之下的像是由于
于是
因此，②设由于又任取于是
4． 设V 是实数域R 上一个三维线性空间，线性函数，
它在基一组标准正交基.
【答案】（1）若全大于0, 即
故当
时，则A 正定. 由
是双线性函数，只需验证
的子空间，的子空间在之下的逆像是V 的子空间.
【答案】 ①设W 是V 的一个子空间，像为
任取
的子空间. 的一个子空间，
为其逆像.
所以
所以
因此，
是V 的一组基，
是V 的子空间. 是V 上的一个双
下的度量矩阵为
是V 上的内积？（2）当a=4时，求欧几里得空间的
且A 的顺序主子式
（1）问a ，b 满足什么条件时，
是V 上的内积，则度量矩阵A 正定，则
具有对称性，非