2017年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A ，B 均为n 阶矩阵，时为对角阵.
【答案】由故
这里使
其中
2． 证明：如果
【答案】由可得
因此根据定理3知
3． 设A ，B ，A+B均为n 阶可逆矩阵，证明：
【答案】由于是
故
故
4． 设
是线性空间V 的一组基，
是它的对偶基，
第 2 页，共 25 页
求证：存在可逆矩阵G ，使
这里
由
同
则存在可逆矩阵P , 使
分别是阶方阵. 由则故存在可逆矩阵
. 令
不全为零，且
那么
则同时为对角阵.
仍可逆，并求
得
仍可逆. 注意到
于是
试证是V 的一组基并求它的对偶基（用表出）.
【答案】可利用定理3. 计算
由于右端的矩阵的行列式.
则
I
故
是V 的一组基. 设
是
的对偶基，
即
5． 设
是欧氏空间V 的两个子空间，证明：
【答案】（1）如果有
所以
反之如果
（i=l，2）; 即得由上知
⑵由（1）因此
6． 直线
有惟一交点的充要条件是什么？试证明之. 【答案】令
则两条直线有惟一交点
第 3 页，共 25 页
则对任一
，因此则
故
都有特别地，对
或
对任一向量
所以
将表成
其中
7． 设向量组证明：向量组
【答案】令
由于
线性表示，设为
将②代入①，再整理得
由假设及上一题知，
线性无关. 故
即证
线性无关.
8． 设f （x ）是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数，证明：
（1）函数f （x ）的核（2）若
由
则
任一向量X 可以唯一表示为
令
于是
故
从而
即S 是V 的极大子空间. 若
则
由
代入上式立得
唯一性得证.
（2）由前面的证明知分解的存在性成立，且
是V 的极大子空间.
下证
线性无关，向量可由这向量组线性表示，而不能由这向量组线性表示，
必线性无关（其中1为常数）.
【答案】（1）显然S 是V 的子空间，若T 是真包含S 的子空间，则
第 4 页，共 25 页