2017年山东大学(威海)高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）设
且求
（2）求正变阵T , 使T 下合同于对角阵.
令
问
是什么曲面？ 【答案】⑴令则
再用
除
（带余除法）得
由哈密尔顿-凯莱定理及①式有
再求即得
（2）计算可得所以
当时，得线性无关特征向量
当
时，得特征向量
由于它们已经正交，只需将其单位化可得
再则T 为正交阵，且
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再作正交变称它表示单叶双曲面.
2． 设
其中则由有
判断是否有重因式，并求
的标准分解式.
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有重因
式. 因此，
3． 证明：
【答案】记于是
的标准分解式是
不能有不为零的重数大于2的根.
考虑到
可知的4
若f （x ）有重数大于2的非零根必须是
与
的公共非零根，因此所以
4． 求齐次线性方程组
的解空间（作为欧氏空间
的子空间）的一标准正交基.
由于
这时两个多项式是互素的，不可能有公共根.
不可能有重数大于2的非零根.
的公共非零根. 因此必须是
【答案】易知方程组系数矩阵的秩是2, 从而有三个自由未知量，解空间是三维的.
取
作为自由未知量，可得一基础解系（即解空间的一基）
：
将
此基正交化，可得解空间正交基：
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再标准化，可得解空间一标准正交基：
5． 证明：对欧氏空间中任意向量
【答案】根据三角形不等式得
在此不等式中，将与互换，又得
但故
由（2）得
6． 确定常数a , 使向量组
可由向量组由向量组
【答案】
记
从而
所以a=l或a=-2.
当a=l时，能由
当
时，由于
考虑线性方程组
因为秩
秩
所以方程组
无解，即
不能
故
可由
线性表示. 但
不
线性表示，所以a=l符合题意.
线性表示.
因为
不能由
线性表示，
故秩
线性表示，但向量组
不能
都有
由线性表示，与题设矛盾. 因此a=l.
7． 设V 是数域P 上n 维线性空间，明：
【答案】
由已知
线性无关的充要条件是
且在P 中有II 个不同特征值
其中是r 的特征值的特征向量
，
证
于是
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