2018年对外经济贸易大学保险学院396经济类联考综合能力[专业学位]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）
.
【答案】X 的密度函数（如图1）为
图1
所以
2． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为:
拒绝域为由已知条件
，当显著性水平为0.05时，，故检验统计量的值为
因为
，故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无
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显著差异.
注:这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布
的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等
价于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.
3． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？
【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况:其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.
若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况:若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.
4． 设总体是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
【答案】由于总体其均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
5． 设随机变量（x ，y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
【答案】（1）因为当0 ，所以X 与Y 不独立. ’这是贝塔分布 ；（2）X 与Y 是否独立？ ， . ， ’ ，所以 ， 下存在优于的估计. 现考虑形如 的估计类， 6． 在钢线碳含量对于电阻的效应的研宄中, 得到以下的数据: 表1 第 3 页，共 31 页 （1）画出散点图； （2）求线性回归方程（3）求的方差（4）检验假设（6）求 处 ； 的置信水平为0.95的置信区间； 是合适的 . 的无偏估计； （5）若回归效果显著, 求b 的置信水平为0.95的置信区间； （7）求x=0.50处观察值Y 的置信水平为0.95的预测区间. 【答案】 （1）散点图如图1, 从图上看取回归函数为 图1 （2）由给定的数据经计算, 得到 . 所以回归方程为 （3）（4）当 时, . , 则拒绝域为 由已知得检验统计量的观察值为 由于 （表载t 分布的临界值a 最小的是0.005）, 9 由此知回归效果是极其显著的. 第 4 页，共 31 页
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