2018年对外经济贸易大学保险学院396经济类联考综合能力[专业学位]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体密度函数为
（1）求（2）求
的有效估计.
，对数似然函数为
将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程
»
解之得（2）令因此
，则
，从而有
，于是
为求有效估计，需求出的费希尔信息量，注意到，
，于是
而从而所以
2． 设
，于是
是是
的任一无偏估计的C-R 下界为
的无偏估计，且方差达到了C-R 下界， 的有效估计.
，
，
的最大似然估计；
，
是其样本.
【答案】（1）似然函数为
为取自两点分布b （1, p ）的随机样本.
的水平
的检验.
（1）试求单边假设检验问题
【答案】 （1）检验的拒绝域的形式为
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（2）若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10, 样本容量n 应为多大？
，其中c 满足以下两式:
在n 给定后，具体的c 值可通过编程计算得到. （2）第二类错误的概率
因此，（n ，c ）可由下面的不等式组决定:
具体的值可由编程搜索得到.
编程的想法是:让n 从1开始，对每一给定的n 看是否存在一个c 满足上述不等式组要求（该过程可如下进行:
先找到满足
在MA TLAB 中，获取这个c 的语句为然后将此时的（n ，c ）代入验算不存在）.
若存在，则n 即为所求，若不存在，则让n=n+l，直至找到满足不等式组要求的c , 如此找到的n 即为满足两类错误概率要求的最小的n.
本例中，通过编程搜索可得最小的n=65（此时对应的c 也可求出，此处为c=2）, 此方案下对应的第一类和第二类错误的概率分别为:0.0276和0.0991，注:该问题常称为抽样检验问题.
3． 用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组法码:（甲）1，2, 2, 5, 10（g ）; （乙）1，2, 3, 4，10（g ）; （丙）1, 1, 2, 5, 10（g ），称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为lg ，2g , …，l0g 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？
【答案】分别用X ，Y ，Z 表示用甲、乙、丙三组法码称重时所用的砝码数. （1）用甲组法码称重时，1个按码可称4种物品2个法码可称4
种物品所以X 的分布列为列为
表
1
因此平均所用法码数为:
.
;
，
的c ,
，
是否成立，成立则c 存在，否则
.
3个砝码可称2种物
品
（2）用乙组法码称重时，1个法码可称5种物品（1，2，3，4，10（g ））;
2个法码可称3种物品（5，6，7（g ））; 3个砝码可称2种物品（8, 9（g ））. 所以Y 的分布列为
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表
2
因此平均所用法码数为:
.
（3）用丙组法码称重时，1个法码可称4种物品（1，2，5，10（g ））; 2个法码可称3种物品（3，6，7（g ））; 3个砝码可称2种物品（4, 8（g ））; 4个法码可称1种物品（9（g ））. 所以Z 的分布列为
表
3
因此平均所用砝码数为:
所以用乙组法码称重时，所用的平均砝码数最少.
4． 设立，求
的一个置信水平为
的置信区间. ，则
，故
，
的分布
皆未知，且合样本独
【答案】
完全己知，可作为枢轴量. 下求T 的分布.
利用商的公式，只是要注意Y 的积分范围. 此处变量取值范围为即
. 故当
时，
而当
时，
由此可写出其分布函数（更加简洁），为
对给定的充分小的
由上式不难给出两个分位数，如取
则
于是给出了
的一个置信水平为
的置信区间为
5． 设在区间
上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
则
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【答案】解法一:分别记此n 个点相互独立，且都服从区间