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一、证明题

1． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

充分性 设令

由己知，得所以（2）因为

2． 证明:若

【答案】已知. 因为

其中在x 1与x 2之间,

在y 1与y 2之间, 于是当 3． 设在证明和一切

在

【答案】因为

, 都有

内成立不等式

上一致收敛且绝对收敛. 关于

为

一致收敛, 所以任给

, 所以

, 存在

, 对任何

. 若

在

上一致收敛,

时有

, 取

,

, 即f （x , y ）在D 上一致连续.

,

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，

令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数.

与f y （x , y ）在矩形域D 上有界, 则f （x , y ）在D 上一致连续.

与

在D 上有界, 即

有

有点

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

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即

4

． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:

【答案】

在

若

由于当故当所以

根据柯西准则, 此即表明

发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立, 即应有

在

在则存在

上连续可微, 并且

上连续,

上一致连续, 从而

对任给

上一致连续, 对于

且时, 有

时, 有在存在

存在

上也一致连续. 使得

如果

（当

, 时）

关于

一致收敛且绝对收敛.

二、解答题

5． 设是某个区间, 数列

X 0由迭代公式

求证:（1）当

f 在区间上严格单调增加时, （2）当f 在区间上严格单调减少时, 相反的单调性.

【答案】（1）以下分两种情况考虑: 如果如果

, 那么用数学归纳法容易证明数列, 那么用数学归纳法容易证明数列

必为严格单调增加数列;

必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调增加的, 应用

的两个子列

产生, 如果对

为严格单调数列;

和

都为严格单调数列, 且具有

推出

（2）注意到, 当f

在区间上严格单调减少时, 复合函数第（1）小题的结论即得证明.

6． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即

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要得到用系数表示的根, 即

试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程

无重根时, 函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

又

【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有

所以由定理可知函数组①存在反函数组②.

7． 设函数f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

因

则

8． f （x ）是以

（1）求函数

为周期的连续函数, 其傅里叶系数为

的傅里叶系数

,

;