2018年扬州大学数学科学学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、综合题
1． 应用高斯公式计算三重积分
,
其中V 是由【答案】
2． 计算下列第二型曲面积分:
（1）（2）
其中
是闭曲面（3）（4）其中为锥面有连续导数;
（5）
其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;
（6）
, 其中是平行六面体
的表面并
,
绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右
和球面
, 其中是抛物面
,
所围立体表面的外侧, f （u ）具
, 取外侧;
, 方向取上侧;
其中为锥面
的外侧;
与
所确定的空间区域.
取外侧, f （x ）, g （y ）, h （z ）为上的连续函数;
（7）
【答案】（1）补充平面
, 其中为椭球
的表面, 取外侧.
, 取其上侧,
设与
围成的区域为则由高斯
公式得
而
所以
（2）闭曲面是由八个平面侧, 由高斯公式得
令
区域在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3）用
表示以原点为中心、
,
则
为半径的上半球面, 取上侧, 取充分小, 使在的内部.
记
的部分, 取下侧,
表示曲面
围成
组成, 其围成的立体为, 取外
为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得
而
取为平面
取下侧, 则由高斯公式得
故原式=原式
.
（4）由高斯公式得
其中为锥面作球坐标变换于是原式
（5）的方程为
取右侧.
补充平面
取右侧,
和球面
所围成的立体.
, 区域变为
:
设与所围区域为, 则由高斯公式得
（6）
由于是平行六面体, 有四个平面垂直于xy 平面, 所以有
类似可得
于是
（7）
下面利用广义极坐标计算