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一、计算题

1． 设有半径为r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为, 在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小.

【答案】如图所示, 在处, 从

到

正电荷在垂直方向上的引力为

r

故导线与电荷的作用力为

图

2． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为

3． 计算下列三重积分:

（1）（2）（3）

, 其中

, 其中

, 其中

及

; （

）所围区域;

.

的一段导线的电量微元为

, 它对圆心处的单位

, z=0和x=h所围区域.

【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以

（2）作变换于是

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, 则区域变为:

,

, 且

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I

（3）作变换区域

变为:

, 即, 从而

4． 设f （x ）在[a

, b]上连续, 且有惟一最小值点x 0.

若

【答案】假设仍记为

, 使

则

在.

显然

中可选取子列

且

, 满足于是

,

这与最小值点的惟一性矛盾.

5． 设函数f

（x ）在

计算

方法二当

时, 有

故

内满足

且

,

由于这个子列有界, 由致密性定理, 可从它中再选取一个收敛子列,

.

, 则

,

【答案】方法一

第 3

页，

共 29 页

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6． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数:

（1）

（2）

【答案】（1）因

求求

所以由反函数组定理, 得

（2）关于x 求偏导数得

解之得

23

7． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,

【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即

处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有

解之得

或

所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或

8． 利用微分求近似值:

（1）（2）（3）（4）则

即（2）令

由

. ,

, 则

得

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.

,

,

,

,

【答案】（1）令