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一、证明题

1． 设

在

上续，则取知

若若

，则取不全为0, 则必有两点

中任一点即可；

使得

由根的存在定理，

2． 设

，求证：当

使得时，有

【答案】方法一：由已知条件得

整理化简得

方法二：先由y 的表达式，解出

再两边取微分，得

3．

设悬链方程为

证明：(1)

【答案】(1) 由弧长公式得

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证明：对任意正整数n ，存在即可. 若

令

则

使得，在

上连续.

【答案】若由

•即

它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：(2)

(3)

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

由定积分的几何意义可得

(2) 旋转体体积为

侧面积为

所以

(3) x=t处的截面面积为

所以

4． 证明：若在则有

【答案】

设分点的任何取法，只要

上可积，在

上严格单调且在上可积，使得对

的任何分割及

则由定积分定义，对任给的

就有

由

现设

在由于

时，恒有

上可积知

，

在

在上有界.

设

如果则此时

结论显然成立。

上连续，

又由于

在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

及任意分点

令

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

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定理知没有第一类间断点，故在上连续. 从而一致连续，故存在

和

且

对于

上对

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

在

满

足

有

且

故

即

5． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。

【答案】设

收敛，令于是

设数列

满足柯西收敛准则的条件.

如果集合

只含有有限多个不同的实数，则从某一

的极限.

如果集合

至少

中

都含有集合

于是，对任给的

存在正整数N , 使得当

时，

有

项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点

假如

无限多个点. 这与取

整数N ，当对于任意使得

有两个不等的聚点

存在正时，有存在N , 使得当因而，当

时，

故数列

6． 设函数列

函数(不要求一致有界) . 证明

：

【答案】

首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而

所以

存在正整数

使得

收敛于

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

在I 上必一致收敛. 时，

矛盾. 故不妨设

令

则与

含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合

的聚点是惟一的，记之为 又因为是

的聚点，所以存在

都是I 上的有界

同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数

当因此

时有

当

时有

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故存在正整

在I 上一致有界.

由