2017年陕西师范大学数学与信息科学学院912数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 求证：黎曼函
【答案】(1)
具有如下性质：
使得
又
从而
上一致收敛. 进一步由连续性定理，可知函数
上连续.
上
(1) 在x>1上连续；(2) 在x>1上连续可微.
连续，特别在连续. 由于的任意性，即可肯定
(2) 由(1) 可知
使得
又
收敛，从而一
在
上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知
且
在
上连续，特别
在点可导且
在连续. 由的任意性，即可肯定
在；x>l上连续可微.
2．
由根式判别法证明级数
【答案】记
收敛，并说明比式判别法对此级数无效. ，则
故比式判别法对此级数无效.
又
故
由根式判别法知此级数收敛.
3． 设f (x , y) 为连续函数，且
【答案】令
所以
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证明：
4． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：
【答案】将又因为
比较上面两式的实部与虚部可得
5．
设
有【答案】由由
当
对故
6． 证明
:任意正数.
【答案】由于
有
当
积分在
若该积分在
时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对
时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得
有
在
上一致收敛；在
内不一致收敛，其中
与为
由
可推得
.
时，有
可知存在正整数N ，使得证明:
而
知
于是取
当
时有
从而
故只需证明
在
附近有界，所
以
(n 为任意正整数) ,
而
为两个常数，定义
在
上的函
数
在
附近有界，且
对
代入欧拉公式，得
上一致收敛.
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因为
另一方面，
由于
，则
所以
则
当当
时有
时有
取
于是当
则
时，
若
因而
矛盾，故原积分在
7． 设
内不一致收敛。
证明:【答案】记
为
的代数余子式
于是
因
对一切的
8． 设f 在区间I 上有界，记
都成立. 所以
证明
【答案】对任意的
即
故
设为任意正数，则存在于是有
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有于是有
使得