当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设在

上可积. 证明：

对右边第一个积分作代换

于是

(1)

若(2)

若

2． 若

在

只

要为奇函数，则为偶函数，则

内连续，且

则

对又因

为

故

故存在，求证：存

在

在

则有

即

3． 证明数列

【答案】由可知又

单调递减，从而

解得

4． 证明:

第 2 页，共 33 页

(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为

则得

在

时

，

内有界.

即

有使

得

【答案】

设使得

当

上连续，所以存

在

在内有界.

收敛，其中

并求极限

有下界.

存在

.

【答案】(1) 由的递减性，有

即

从而有

依次相加得

由左边不等式，得

由右边不等式，得

综合两式有

(2) 由(1) 有

而

于是由迫敛性定理有

5． 若

为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则

，由连续函数的局部保号性知：

，

有故

6． 设

在

上连续，在

使

【答案】记

则过三点

的抛物线为

第 3 页，共 33 页

，

【答案】由题设存在使得对一

切

且连续，所

以

内二阶可导，证明：

令而

又

由

立即可得出结论.

在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，

7． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数函数

偏导连续，证明：

【答案】(1) 由高斯公式：

令

有

即

(2) 由(1) 式用

代替可得

类似地可以得出：

三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得

8． 用定义证明下列极限：

(1

) (2)

若

(3) 对黎曼函数

则

则

故存在

第 4 页，共 33 页