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一、证明题

1． 试用一致连续的定义证明：若

时，有

则当

都在区间上一致连续，则

当时，有

故

在上一致连续.

2． 设f , g 为D 上的有界函数. 证明：

(1

) (2

)

【答案】(1) 对任意的

有

于是

故

(2) 对任意的

有

于是

故

3． 设

b]上逐点收敛且具有性质：在[a，

在[a, b]上一致收敛.

上是等度一致连续的，又

上一致收敛.

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也在上一致连续. 存在

时，有

使得当

取

【答案】因为f , g

在区间上一致连续，

所以对任给的

且5时，有

上逐点收敛，即

用有限覆盖定理证明由

定理，得

【答案】由题设条件，知

(Osgood 定理)

设函数列

则(1)

答:(1) 由

对

成立；令(2)

由

由

于

在

当

在有限闭区间在

上连续

，

在

.

在上等度连续，

如果

对所

有

上连续；(2) 上一致收敛于

上等度连续，得

时，不等

式

取极限得，

对于任意

的

在x 处连续

及时，有

上等度连续，必存

在

由此得

s

上连续； 使得

当

使得

当

时，

有

且

于是这些区间的并

构成

的一个开覆盖，即

令

当

于是，当n>N时，这就说明了

4． 设函数

在

在

|上连续，在

对任意时，有

对一切上一致收敛.

内可微，又

不是线性函数. 证明：

【答案】过点

显然

，

不妨设

则有

由拉格朗日中值定理，

使

当当

时，有时，有

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必存在

使得

成立.

中的某个开区间

使

与的直线方程为

由

于

不是线性函数，故存在

点

，

使

于是，总存在使

5． 设

【答案】由.

6． 设

证明：

代入得使对一切

均有

.

可微，且在上连续，若存在常数

试证明：(1) 是

因为

上的一一映射；(2) 对一切

【答案】(1) 任取所以

(2

)

即是上的一一映射。 因为f 在处可微，即

所以使

则

由 7． 设

的任意性知，

证明：当

时，

可以用来作为曲线坐标，解出

时

，=

从而

都连续

且

可以用来作为曲线坐标

.

分别对应

平面上坐标曲线

如图1、2所示

由反函数组定理知，存在函数

组

作为

的函数；画出平面上

【答案】所以故

当

所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.

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