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一、证明题

1． 设正项级数

(1

) (2

) 由

发散.

用分点单调性，得

从而

当

时，

即得结论.

因单调下降且趋于0,

及

发散. 所以

有

故由收敛原理知

2． 设

发散.

证明

【答案】

对

而

即

对

由

知：

是使得

定义在

上，证明它在

上满足下述方程：

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发散，

令求证：

【答案】(1) 把

及

分成无限个小区间，在上，

(2) 方法一：

我们考虑级数

故级数

收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的

使于是对

在区间上有界，记

因为

所以有

|的一个上界.

同理

使得.

所以

从

综上所述：

3． 设函数

【答案】令则

其中c 为常数，又

所以所以

二、解答题

4． 设函

数

【答案】方法一

方法二当

时，有

故

5． 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：

(1)

(2

)

收敛，

在

内满

足

且

，

计

算

【答案】(1) 因为

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所以由级数的比较判别法知，级数(2) 因为发散，故级数 6． 设

，级数

收敛，由于

单调递减且

条件收敛.

. 绝对收敛.

收敛. 又

所以由Leibniz 判别法知，级数

是f (x ) 在区间

而

上的正弦级数，求

【答案】对任意的知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法

一致收敛，所以由一致收敛函数列的性质知

7． 重排级数

【答案】注意到使得

存在

使得

如此下去，

存在

因 8． 试求

在

上的傅里叶级数，并求级的延拓，则

故由收敛定理，对

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使它成为发散级数.

及

. 均是发散的正项级数，从而存在

使得

存在

使得

这样得到一个重排的级数

及发散，可得此重排级数必发散.

的和.

【答案】将f (x ) 作周期为