2017年福建师范大学数学与计算机科学学院839数学分析之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:f 在D 上连续，但不一致连续.
【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.
取当
无论及
时，
从而
2． 设
在D 上不一致连续. 为正数
证明：方程
在区间
与
内各有一个根.
f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于
由根的存在性定理，必存在令
则
即
在
内各有一个根. 使得
故有
【答案】(1) 证法一：设辅助函数
取得多么小，当
取到某个，n 时，
总能使
(2) 证法二：
令
且
得
.
3． 若
故方程
使得在
因
为
由连续函数根的存在定理知，
存在
内有一个根. 同理可证，方程.
在
所以存
在
使
内也有一个根.
的收敛半径为
且
收敛，则
也收敛，且
【答案】因为
所以
因为
且
收敛，所以
在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而
因
关于A
在
成立，而
上一致收敛，由和函数的连续性知
4．
设级数
【答案】级数可记为
一个
又
5． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则
【答案】设n 和的方向余弦分别是
和
收敛，
因此
为上正的递减且收敛于零的函数列，每一个
在
设
为收敛于零的函数列，
故
都是则
在
上的单调函数，则
一致有界. 由每又对每一个
上不仅收敛，而且一致收敛.
都是及
上的单调函数可得时
，
是单调的，由狄利克雷判别法可知，原级数在
上一致收敛，从而也必收敛. 其中n 为曲面S 的外法线方向。
则
由第一、二型曲面积分之间的关系可得
由的方向固定，
原式=
6． 设
在
上有连续的导函数，
证明：
【答案】令
则
由
可知，
于是有
7． 由根式判别法证明级数
【答案】记
收敛，并说明比式判别法对此级数无效. ，则
故比式判别法对此级数无效.
又
故
由根式判别法知此级数收敛.
都是常数，故
由高斯公式得
二、解答题
8． 设
【答案】
所以
因为