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一、分析计算题

1． 在标准欧几里得空间

线性子空间’【答案】由

所以

是W 的基. 解线性方程组

即

解得

2． 化以下各矩阵为标准形:

故

在W 上的正交投影为

中有向量

求向量

在w 上的正交投影.

【答案】分别用①

②

表示以上三个矩阵.

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③类似可得

的标准形为

3． 求一个3阶实对称矩阵A , 使其特征值为1, 1, -1, 并且对应特征值1有特征向量（1，

1，1）҆，（2

, 2, 1）҆

，其中量正交, 得方程组

解之, 取基础解系

令

则

于是

为所求.

为的转置.

由实对称矩阵A 的不同特征值的特征向

【答案】设A 的属于-1的特征向量为

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4． 按定义计算行列式：

【答案】

原行列式

5． 求满足【答案】若若若

秩秩

则

的一切满秩方阵.

是6阶方阵A 的极小多项式, 且及若当标准形.

又A 的特征多项式所以

从而A 的特征多项式

A 有初等因子

A 的若当标准形为

为6次多项式, 且

的若当标准形.

试求

的所有n 阶方阵A.

则显然

则由上题知：

若秩

故当

时

则

当

因此，满足

故此时

时亦可验算

的所有方阵是：零

方阵及适合

6． 已知

（1） A 的特征多项式（2）A 的伴随矩阵

【答案】 （1）设A 的不变因子为

由于A 的极小多项式是A 的最后一个不变因子, 所以