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一、填空题

1． 已知方程组

【答案】-1 【解析】

且已知原方程组无解秩

秩

此即

2． 设

【答案】 -3

【解析】

秩

秩

而秩

秩

即

3． 设矩阵

B 为3阶非零矩阵，且

则

_________ ，

无解，则a=_____.

且秩【答案】-3. 【解析】但

时秩

则 k=_____.

则从而k

，所以

或

4． 设E 是4阶单位矩阵. 则_________

【答案】【解析】

二、分析计算题

5． 设A 、B 分别为数域P

上域P 上存在一个秩为

【答案】

由于

即

因为

所以存在m 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵R ，使

取

这里

则

6． 设

【答案】由

记上式右端的n 阶方阵为A , 则数.

矩阵和的

矩阵，令证明：如秩则数

矩阵D ，满足对于数域P 上任何n 阶方阵Q , 有

的

矩阵D ,

满足

有

欲证存在秩为

有

证完.

是V 的基吗？为什么？

是数域P 上线性空间V 的基, 问

于是是V 的基是奇

7．

【答案】

试确定P 的值，使

且

则

有重根，并求其根.

（1）当所以x+2是（2）若

时，有

的三重因式，即则继续辗转相除，即

这时

的三个根为-2，-2，-2.

当即这时

是

时，有

的二重因式，再用

除

得商式x+8.故

的三个根为1，1, -8.

8． 设以下n 阶行列式为D. 证明:若n 为奇数，则D=0.再举例指出，当n 为偶数时存在

【答案】将D 中每行都提出-1, 由于n 为奇数，故

但是当n 为偶数，例如

时有

其实对任意偶数n ，当取

9． 设

又若

都是

（

但

）时，可知，均有这里且

使

中的非零多项式，且

证明：不存在

使①式成立，则用

【答案】用反证法，若存在

乘①式两端，得