2018年长江大学应用数学617高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． m , p , q 适合什么条件时，有
【答案】
因为
的充要条件是
的充要条件是有
比较次数及首项系数，常数项，可设
使
代入，展开，得
由此得， 2． 设
的充要条件是
或
除所得的余式为
即
所以
A 、B 均是正定阵，证明：
的根均大于0; 的所有根等于
（1）方程（2）方程
【答案】 （1）因为A 、B 正定，所以E 可逆阵P ，使
又因为B 正定而
所以
即 （2）
由（1）知，
的根为因为
的根
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正定，所以
且全大于0.
所以
3． 在欧氏空间V 中
（1）若向量是V 的子空间，且
的所有根均等于1，
. 等长，证明:正交，作出几何解释;
是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，证明:
，所以
S 是V 的子空间，（2）设V 是n 维的，
【答案】 （1）因为
.
，故成立，且
几何解释:表示菱形两对角线互相垂直. （2）由已知有
故S 和
4． 设
求可逆阵P , 使
为A 的若当标准形.
是V 的予空间，且
是同一子空间的正交补，由正交补的惟一性，即证
【答案】先求A 的若当标准形, 易证
于是
的初等因子组为
故
设可逆阵
使
即有
也即
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所以
于是有
解之得
于是
5．
设为两个非零多项式且. 使
证明:存在多项式
（1）
其中或
去除
次，但，设
而且这种表示法唯一.
. 或
（2）
（3）
【答案】先用若
次，则结论已对；若次，再用g 除，设
将（3）代入（2）, 得
若设另有
（4）
其中
或
次，但
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可再用g 去除. 如此下去，由于的次数逐次降
低，从而可得（1）.
（1）-（4），并移项，可得