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一、选择题

1． 设

A.

B.

C.

D. 【答案】B 【解析】

秩

或

故

阶矩阵

若矩阵A 的秩为

则a 必为（ ）

但当a=1时，

秩

2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

且

所以

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则分块矩阵

3． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

则

=（ ）.

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

4． 设

与

为空间的两组基, 且

又

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

由②有

将①代入④得

即故.

5． 设

则A 与B （ ）.

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

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①

②

③

④

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

二、分析计算题

6． 设

证明:如果

是线性空间V 的线性变换.

且

则

【答案】任取 则由于

及

故得

于是由（1）得故

又若

则仍由

及

从而

7． 设

故（2）是直和.

知:

（2）

并令

（1）

是线性空间V 上的可逆线性变换

的特征值一定不为0

特征值，那么是

的特征值.

可逆时即A 可逆时，它的全部特征值皆不为零.

两边用

去作用它，

则

（1）证明:

（2）证明:如果是【答案】 （1）设

在某基下的矩阵A , 则的特征值就是A 的特征值. 由于

. 故

A 有特征值为零的充分必要条件是（2

）设

是

. 由（1）

即

8． 设T , S 为线性空间

是

再用

的特征值，a

是属于的特征向量，

则

乘它的两边，则得

的特征值.

的如下两个变换:

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