2018年云南师范大学民族教育信息化教育部重点实验室601自命题数学(理)之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
则分块矩阵
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E
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则为（ ）.
C.A D.-A 【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设线性方程组的解都是线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
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的解, 则（ ）.
与
的解空间分别为则所以
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，
即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
二、分析计算题
6． 设
其中
为两个非零多项式且. 或
去除
次，但，设
. 或
若
次，则结论已对；若
次，再用g 除，设
（3）
将（3）代入（2）, 得
若设另有
（4）
其中
或
次，但
（5）
由于
或为零，或次数
且由（5）又得
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证明:存在多项式而且这种表示法唯一.
使
（1）
【答案】先用
（2）
可再用g
去除. 如此下去，
由于的次数逐次降
低，从而可得（1）.
（1）-（4），并移项，可得
次数，故上式左端括号内的多项式必等于零，
从而必