2018年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算下面的行列式：
【答案】原式
2． 试求满足【答案】设
的一切二阶方阵A.
则由
可得
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由（2）得’于是得A 为
若
则由（1）得
b ，c 为任意数； 若
则
由（
1）又得
故
或
即此时
或E.
3． 下图表示一个电路网络，每条线上标出的数字是电阻（单位是欧姆），E 点接地，
由
点通入的电流皆为100安培，求这四点的电位. （用基尔霍夫定律. ）
图
【答案】 4．
设
点的电位分别为
（单位是伏特）
A 、B 、C
分别为
则
和
矩阵，且证明：如
的解，由
果
可得
又
证法2:因为
【答案】证法1:注意到矩阵BC 的每一个列向量均为齐次线性方程组
只有零解. 由题设知
故有
而
而
即
所以B’的每一列均为0, 故
所以
又 所以
故有
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5． 设齐次线性方程组
其中
试讨论
为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组
解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.
【答案】方程组①的系数行列式
（1）当（2）当
且
. 时，方程组①仅有零解.
时，对系数矩阵A 作行初等变换，有
原方程组的同解方程组为其基础解系为
故方程组①的全部解是
其中（3）当
为任意常数.
时，对系数矩阵A 作行初等变换，有
原方程组的同解方程组为