2018年北京市培养单位生命科学学院803概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
2． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
【答案】充分性:若
间的相关系数分别为
且
该条件分布与无关，因而是充分统计量.
个
和个
譬如
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中的个数依次记为这里诸服从几何
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义. 3． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
4． 设二维随机向量服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
5． 设
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数