2018年北京市培养单位生命科学学院803概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
2． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义. 3．
设计.
【答案】由于
这就证明了
4． 设随机向量
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
独立同分布
, 证明
:
是的相合估
是的相合估计. 间的相关系数分别为
且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关，则由上面的推导可知
5． 设为
是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有其中
和
可表示为
这就证明了的近似
置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
，因而
可得
和，
，
置信区间可进一步简化为
证明:当
时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
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