2018年北京市培养单位心理研究所803概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
由
由于，
因而
所以
2． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
存在，试证明:
与
的相关系数为
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
3． 证明:若明:
与是未知参数的两个UMVUE , 则依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得
4． 证明:若
则对
几乎处处成立，即有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
5． 设随机变量
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
6． 若因为
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立，
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
所以有
7． 设
，即得
是来自两参数指数分布
.
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
8． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
由马尔可夫大数定律知
9． 设随机变量
【答案】若随机变量而
这就证明了
10．设随机向量
间的相关系数分别为
证明:
服从大数定律. 证明
则
也服从
从而
由此可得马尔可夫条件
【答案】因为
的充分统计量•