2018年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
2．
设总体
【答案】令
，则
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
.
3． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为所以由
诸的相互独立性
得的特征函数为
这正是伽玛分布 4． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
又故 即证
5． 设
是
的无偏估计量.
的特征函数，由唯一性定理知, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
6． 设随机向量
证明:【答案】由
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，满足
知
7． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
所以
最优.
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
分别为样本的均值
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得 8． 设和方差,
几乎处处成立，即
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
相关内容
相关标签