2018年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
2． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
3． 设存在，且N 与
由此得
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
所以
因为X 与Y 相互独立，
所以
4． 设
证明【答案】
诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
注意到
是已知常数，令
取
由因子分解定理，
5． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是
是样本，证明则
由
由于，
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独立，是已知常数，
的充分统计量. 与
的相关系数为
因而
所以
6． 若因为
，证明:对任一事件B , 有
.
，从而得
，又
【答案】因为，所以由单调性知
所以有
7． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
，即得证明:当
.
时，随机变量
则由X 的特征函
数
按分布收敛于标准正态
可
得
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
8． 总体
（1）证明
而正是的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
，其中是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
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（2）似然函数为是的减函数，
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