2018年山东科技大学信息科学与工程学院836线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
设矩阵.
【答案】
为任意常数.
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，此时A 有二重特征值1，仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5．
写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，
即
此行列式中含有
6． 设A , B
都是
的项为
和
或
的项. 和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别
矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.
【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相
同的标准形
于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.
7． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1
）
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