2018年山东科技大学信息科学与工程学院836线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2．
已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征 值都大于0,
得
3． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是3维线性无关列向量，且
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令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B
，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.
（
Ⅲ）由
4
．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵
A 和B 是否相似，若相似则求出
知
故
芄中
不
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
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