2018年厦门大学金融系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
线性无关.
令
非零可知，是A 的个
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
3．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是当时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
4． 设A
为
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
二、计算题
5．
已知
到基
的两个基为的过渡矩阵P.
【答案】
记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义
，
可求得P 如下：
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
.
求由基
从而
6． 求一个齐次线性方程组，
使它的基础解系为
【答案】设所求齐次线性方程为Ax=0
记
.
那么
是方程AX=0的基础解系
AB=0, 且R （A ）
=2
, RR （At ）
=2
的两个列向量是
，
的一个基础解系（因R （B ）=2）。
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