2018年山东科技大学信息科学与工程学院836线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
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3． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知
则
. 可
逆. 又故即
所以即而
故 4． 已知
与
相似. 试求a
, b ,
c 及可逆矩阵P ，
使
【答
案】
由于故B 的特征值为
从而
B
可以对角化为
分别求
令
所对应的特征向量
，得
有即a=5.
由
得A ，B 有相同特征
值，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令
有
. 因此
即
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记
则P 可逆，
且
二、计算题
5．
设
问k 为何值，可使（1）R （A ）=1; （2）R （A ）=2; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时
，当k=l时，
知R （A ）=1.
方法二：对A 作初等行变换
.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
于是，（1）当k=l时，R （A ）=1; （2）当k=-2时，R （A ）=2; （3
）当（A ）=3.
6．
设
【答案】
且
时，R
是一组n 维向量，已知n
维单位坐标向量线性无关.
可由
线性表示
能由它们线性表示，
证明