2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0
, 所以必有
线性无关
；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故 3． 已知
，求
【答案】令则且有1
所以
4． 设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，
设
对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为其中为任意常数.
二、计算题
5． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x. 因由
是A 的特征值，有
与
相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似
，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质
：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为