2018年扬州大学数学科学学院822高等代数(理)考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 假设
证明:【答案】设
被的5个根为
整除.
其中
则
互不相同，且记为
由假设可得
被
整除，
由范德蒙行列式可知齐次方程组①的系数行列式不等于
0.
即证.
2． 设A 为实数域R 上的一个n 阶方阵, 满足
（1）设
为A 的一个特征值, 证明:也是
,
的特征值.
两边取转置行列式, 得
时成立.
将其单位化,
仍记为口是正交矩阵, 且
即也
（2）证明:如果A 的所有特征值都是实数, 则A 是一个对称矩阵. 【答案】（1）由是A 的特征值, 则是
的特征值.
（2）对矩阵的阶数用归纳法对于n 阶矩阵A , 设在n
维欧几里得空间
中, 将
扩充为标准正交基
则
时, 结论是显然的. 设结论对
是A 特征值, 由
是实数, 存在实特征向量
（1）
由于是
得
比较等式
的（1, 1）元, 知
则
进而
注意到B 是
阶实矩阵, 特征值全为实
数, 由归纳假设, B 为对称矩阵, 由式（1）知A 是对称矩阵. 故n 时结论成立. 由归纳原理, 结论成立。
3． 设
对任意多项式
【答案】由
则A 的特征值是3, 3, -6.注意到A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵U , 使得
设
则
4． 中国象棋中的马从某一点起跳，经过若干步跳回起跳点. 试证它共跳了偶数步
.
求
图
【答案】在棋盘上取直角坐标系，以起跳点为原点，棋盘的横向为x 轴方向，纵向为y 轴方向，棋盘格子的长度为单位长. 马从任一点（a , b ）起跳，若跳到能的位置. 在八个可能的位置上都有性质
因此若从原点即
出发，跳了r 步，
经
. 每一个值
.
跳回了原处，
都是奇数，并且
由于奇数个奇数的和不能为零，故r 为偶数.
点，最多有图上的八个可
5． 设A 为n 阶方阵，证明:
【答案】当而所以
当当显有
时，有时，
从而
时，有
当结合故仍有
6． 设
其中
勾4维列向量，且
其中
令
【答案】由由
是
试求的通解为的特解知
由
可由
线性表示知
，于是
的导出组
的通解. 则
的通解为
时知
时，有
的基础解系仅含两个解向量. 注意到
取特解
导出组的基础解系为故通解为
‘
7． 求满足
【答案】若若
秩
为任意数.
的所有n 阶方阵A. 则显然
则由上题知：
若秩
故当
时
则
当故此时
时亦可验算
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