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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.

, 则F （0）=0, 且

【答案】令

求证:

, 使得

»

由此推出

下面分两种情况讨论: 第一种情况, 使得第二种情况

, 使得

使得 2． 设

证明:

,

即得,

即得

.

则

.. 根据罗尔定理, 有

*

, 从而本题得证.

与F （1）异号,

于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有

. 从而本题也得证.

现在对F （x ）在

【答案】构造函数

Taylor 展开可以证明,

所以又因为

所以原命题成立.

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递增.

3．

设

, S 为一封闭曲面, r=（x , y , z ）, 证明当原点在曲面S

外、上、内时分别有

【答案】因为

所以, 当（x , y , z）

（0, 0, 0）时

（1）（0, 0, 0）在S 的外部时, 由高斯公式, 有

（V 为S 所围的区域）

（2）（0, 0, 0）在S 上时,

为无界函数的曲面积分, 且

.

收

如果S 在（0, 0, 0）是光滑的, 由类似于无界函数的二重积分的讨论, 可知反常积分敛.

同样, 取充分小的

, 记为以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面, 用S 1表示从S 上被截下

而不被所包围的部分曲面, S 2表示上含在V 内的部分, 则

其中, S 2取内侧. 因为S 在点（0, 0, 0）是光滑的, 在点（0, 0, 0）有切平面, 所以S 在点（0, 0, 0）的附近可用这个切平面近似代替, 即S+2可看作的半个球面, 故

（3）（0, 0, 0）在S 的内部时, 取充分小的内部, 记为S 和所围成的区域, 取内侧, 则

4． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在

上连续;

（2）设f （x ）在

上单调, 且对

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, 使以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面在V

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,

则f （x ）

在则f

（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以

故f （x ）在点

连续, 从而f （x ）在

, 于是对

令同理由（3）由

即f （X ）定号, 从而可知对

续, 利用（1）的结论知

在得

对

得A=A+B,

即

,

令

有

得B=A+B, 即, 因为

, 于是都成立.

,

由已知得

上连续, 从而f （x ）在

在x=0处连上连续.

两边取对数得

. 从而

上连续.

, 且f （X ）与f （-X ）同号, , 所以f （0）=l.对

上连续.

, 取x=y=0得f （0）=0.对

, 又

上连续. 上单调, 所以

和

都存在, 设

（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在

当

时,

上连续;

, 且对

满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,

（3）设f （x ）在点x=0连续,

在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在

二、解答题

5．

设

【答案】

6． 按函数作图步骤, 作下列函数图像:

【答案】（1）函数轴交于以下几点:

由

得稳定点

,

,

, 由

表1

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求

的定义域为

, 得x=-2.

.

, 容易求得曲线与坐标

,