当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在[a, b]上连续增,

则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x ）在

上连续, 且

, 则

为

？

【答案】（1）由f （x ）在[a, b]上连续及洛必达法则, 得

因此F （x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a, b]上连续, 又当

时,

根据积分中值定理, 存在由f （x ）在[a, b]上单调增, 得故F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）由题设, 可得

. 因此

在

内可微, 且

由从而

故

_

为

内的严格增函数. 因

知, 函数（x-t ）f （t

）在

上非负, 且不恒为零, 所以

,

,

使

从而当

. 所以

时,

上的严格增函数,

如果要使

在

上为严格增, 试问应补充定义

所以补充在

, 使函数上严格增.

成为

上的连续函数, 再由

, 可得

二、解答题

2． 设

（1）试求以

（2）计算【答案】（1

）因所以

所以

其中

为自变量的反函数组；

（2）

3．

设

f （

u ）是可微函数

，

【答案】

故

4． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

试求

:

化为极坐标下的形式.

与

类似可求

因此

5． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？

【答案】如图所示, 功的微元为

, 故所求的功为

图

6．

应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:

（1）（2）（3）

【答案】（1）记

时

,

故

（2）因判别法知原级数收敛.

, 故

从而级数

sinnr 的部分和数列

从而级数收敛.

（3）注意到数列

单调递减且

故只需考察级数

则

又

故

时

,

收敛, 由阿贝尔

单调且有界, 因此数列

关于n

单调有界. 又级数

即S n 有界. 又

时, 数列单调递减且由狄利克雷判别法知原

的部分和数列