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一、解答题

1． 求

【答案】因为

所以

2． 设

【答案】对

是n 个正实数, 求

取对数得

.

所以

3． 求极限

【答案】记

.

则

即

而

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,

故

.

4． 求

.

【答案】由分部积分可得

令

则

, 所以

故得

5

．

设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点, 在区间试求质点与细杆之间的万有引力.

【答案】如图所示, 距原点x 处, x 与

之间的质量产生的引力为

故

图

6． 把重积分

其中

【答案】

作为积分和的极限, 计算这个积分值.

,

并用直线网

分割这个正方形为许多小

（a>0）上有一质量为M 的均匀细杆.

正方形, 每一小正方形取其右顶点作为其节点.

二、证明题

7． 设f （X ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内有二阶导数, 且

求证:

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（1）函数f （x ）在（0, 1）内恰有两个零点; （2）至少存在一点

, 使得

（见图）:

【答案】（1）函数f （x ）在[0, 1]上有惟一的最小值点

图

显然

, 否则

, 这与

矛盾. 又因为

否则由凹函数的最大值在端点达到, 导致于是有所以导致（2）令

又根据第（1）小题,

, 使得

有一个零点, 这f" （X ）>0矛盾

, 注意到由

推出, 所以

»

于是

故有

即

8． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在

，因为

收敛，所以

从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在

, 这又与

. 又因为f （x ）在[0, 1]上连续,

, 使得

矛盾.

如果f （x ）在（0, 1）内有三个零点, 由罗尔定理, 函数在（0, 1）内有两个零点,

. 再由F （x ）的连续性, 存在, 使得. 即.

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致