2018年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院655数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设z=f （x , y ）在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数, 且
证明:z=f （x , y）的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由f （x , y）在有界闭区域D 上连续, 所以f （x , y ）在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点（x , y ）, 记
由己知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点, 因此f （x , y）的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.
2． 设
证明:当
时, u , v 可以用来作为曲线坐标,
和
并
解出x , y 作为u , v 的函数；画出xy 平面上u=l, v=2所对应的坐标曲线；计算验证它们互为倒数.
【答案】
所以
故当
时
,
都连续且
由反函数组定理知, 存在函数组x=x
（u , v ）, y=y（u , v ）, 从而u , v 可以用来作为曲线坐标.
由
解得
u=l, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx; 如图1、2所示
图1 图2
因
而前面已算得
即
3． 设正项级数
（1
）（2）在
发散.
用分点
及
单调性, 得
从而
当
时,
, 即得结论.
因单调下降且趋于0,
及
发散. , 使
,
有
故由收敛原理知
与互为倒数. 发散,
, 令
, 求证
:
【答案】（1）把
上, 由
分成无限个小区间,
（2）方法一:
我们考虑级数
故级数
’,
收敛, 于是由第（1）小题推出级缴
, 所以
方法二:因对任意固定的n , 于是对
发散.
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4． 设记
在上递増,
或
证明:存在使得
【答案】用确界原理证明. 若结论成立. 下面假设
因为下证
又
故E 非空且有上界b , 从而必有上确界
, 可记.
对任意的
故有
在
, 即
有
而
在
为
E 的一个上界
, 从而有
上递增, 故
另一方面,
由于
由此得出
上递增
, 于是有
即
而综上即有
故又有
成立.
二、解答题
5． 确定下列函数的凸性区间与拐点:
【答案】（1）时
,
当（3）得（4）由由区间为
（5）当
, 凸区间为
, , 凸区间为. 当
时,
. 故
y 的凹区间为,
, 由
, 由
；
得, y 的拐点为
. 当
.
时, ; 当-
.
故y 的凹区间为（2）
-, 时
, y 的凸区间为. 由于得
.
（即. 由
）无实根, 故y 无拐点.
得x=－l , 于是拐点为（－1, 0）. 由
和
,
, 故拐点为
,
解得
和
, 时,
; 当和
, 拐点为
.
或
, 凸区间为
和
. 由.
, 由时,
得
,
故y 的凹区间为
得
, 解得
. 故y 的凹
或
,
得,
得
.
故y 的凹区间为（－1, 0）, y 的凸区间为
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