2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 与g 是定义在
证明:若
【答案】因
为
收敛. 又因
为
法
,
也收敛. 与
上的函数, 对任何u>a, 它们在[a, u]上都可积.
收敛, 则
与>并
且
和
也都收敛.
都收敛, 所
以
, 根据比较判别
二、解答题
2． 应用拉格朗日乘数法, 求下列函数的条件极值:
（1）（2）
（3）
【答案】（1）设
,
若
, 若x ＋7－1=0;
若
（其中x , y , z , t>0, f>0）;
对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则令
解之得
由于当（2）设
时
,
故函数必在惟一稳定点处取得极小值, 极小值
令
解方程组得x=y=z=t=c
由于当n 个正数的积一定时, 其和必有最小值, 故f 一定在惟一稳定点（c , c , c , c ）处取得最小值也是极小值, 所以极小值f （c , c , c , c ）=4c.
（3）设
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令
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解方程组得x , y , z 的六组值为:
又
因此极小值
在有界闭集上连续, 故有最值.
极大值
3． 求极限
【答案】令
（k 为自然数）.
, 由
可得原极限
.
4． 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）
由由
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，共 31
页
由
复合而成. 复合而成.
复合而成.
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（
4）
由复合而成.
的收敛性与绝对收敛性.
5． 讨论广义积分
【答案】改写
当
时, 因为
, 所以当
即当
时, 积分
收敛, 由于被积函数是正值,
此收敛也是绝对收敛. 当知积分当
时
时, 因为收敛. 当
, 又当
即当P>-1时
,
, 所以由狄利克雷判别法绝对收敛; 当
时, 即
时, 即当P>1时, 积分
条件收敛.
时
,
综合以上结果, 并由（1）式得:当
绝对收
敛.
条件收敛
; 当
1 , 6． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性: （1）（2）（3） 【答案】（1）记 时, 故 （2）因判别法知原级数收敛. , 故 从而级数 sinnr 的部分和数列 从而级数收敛. （3）注意到数列 单调递减且 故只需考察级数 第 4 页，共 31 页 则 又 故 时, 收敛, 由阿贝尔 单调且有界 , 因此数列 关于n 单调有界. 又级数 即S n 有界. 又 时, 数列单调递减且由狄利克雷判别法知原 的部分和数列