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一、计算题

1． 设

【答案】

,

而

2． 求由下列方程所确定的隐函数的极值.

（1）（2）

【答案】（1）令

令又从而（2）设令这时再将

, 故x=0舍去. 再以

代入

解得

, 则

, 解得x=0或

以x=0代入原方程, 得y=0,

故稳定点为

而

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, 求.

则

则有x=﹣y , 将x=﹣y 代入原方程得

, 且y （1）= ﹣1, y （﹣1）=1.

, 解此方程得

于是该函数的稳定点为

故当x=l时有极小值﹣1, x=﹣1时有极大值1.

代入原方程解得

在稳定点

均有

及

代入

的表达式中, 得

可见

与y 异号. 故

所以在点P 1

, P 3, . 取极大值

, 在点P 2

, P 4取极小值

3． 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:

（1）（2） （3

）（

4） 【答案】（1）确界.

显然有是集合S 的一个上界. 对任意的

, 则

即（2）

则

（3）设

不妨设S 的上确界.

（4）

的上确界为1, 下确界为

因为S 中的最小元素为

所以是

存

由无理数的稠密性可知, 存在无理数

于是

并且

因此, 1是

且

. 因此,

是S 的上确界.

的上、下确界分别为

故S 无上界, 即S 的上确界为

和1. 1是S 的一个下界, 并且

取

.

不妨设

取

S 的上、下确界分别为

. 这里只证明是上

任何大于1的数都不是S 的下界, 所以1是S 的最大下界, 即1是S 的下确界. 对任意的

内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界.

S 的最大下界, 即是S 的下确界. 由于所以1是S 的一个上界, 对任意的

因此, 1是S 的上确界.

绕x 轴旋转而成.

第

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在使得于是取且满足不等式

4． 己知球半径为r , 验证高为h 的球缺体积

【答案】这个球缺可看作由曲线

其体积可由旋转体体积公式

求得.

二、证明题

5．

在[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0

, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

从而时, 有

及

, 有

恒成立.

所以对于任意

取

当n>N时

, 对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

存在优级数

特别取, 有

而正项级数优级数

6． 设

发散.

所以级数发散, 这与为优级数矛盾,

因此级数不存在

和在点

的某邻域内存在,

令

在点连续,

证明则

也存在

, 且

【答案】对于固定的x

0与

分中值定理,

即有 于是有

有:

在y

0的邻域可微, 从而由微

故

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存在, 且

命题得证.