2018年武汉工程大学计算机科学与工程学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列函数在x=0处不可导:
（1）（2）
【答案】（1）因为（2）先求
, 当
时,
. 于是
再求
, 当
时,
, 于是
因为
2． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且
, 又若
【答案】假设对任意的
, 使与
均有
, 则在（a , b ）上至少存在两点
, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？
f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或
, 这与
矛盾. 故至, 使
, 所以
在
处不可导.
' ；
, 所以
在x=0处不可导.
内恒正或恒负. 于是,
根据积分不等式性质有
少存在一点
且f （x ）在
假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则
每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有
在两边也异号. 所以
在两边同号,
但
由此知f （x ）在两边异号. 又函数
即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得
矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点
假设在（a , b ）内只两点
,
, 使得
, 则
即
, 且f （x
）在
, 使得
下证若
则f （x ）
每个区间内不变号. 从而由
推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得
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即
, 其中
, 所以由上式知,
f x ）从而知（在在
. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）
内的符号分别为正、负、正, 故h （
x ）在
但
矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点 3．
使得
【答案】根据题意,
满足
则
易知显然由⑴若若①当
②当（2）若①当
使得
②当存在
使得
综上所述, 存在
使得
时, 取
时,
必有时, 必有
使得再由
. 因为 与由于
每个区间内恒异号,
f x ）f x
）
两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（在区间
正. 又h （x ）是连续函数, 所以
使得
证明存在非负单调数列
, 则
.
则
, 若
则
则
由推广的罗尔定
理知, 存在
又
在某
在某
. 又
, （或者用保号性及介值定理, 存在
处达到最大值,
又
处达到最小值
,
（或者用保号性及介值定理, 利用推广的罗尔定理, 存在> 利用推广的罗尔定理, 存在
, 使得
时, 由于.
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使得这样继续下去, 得到存在非负的单调增数列
结论得证.
使得
4． 设二元函数f （x ,
y ）在正方形区域[0
, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].
（1
）试比较【答案】 （1）
由y 的任意性可知（2）若显然
，使
下面证明上面条件为充分条件，
在[0, 1]上连续,
，使
故
5． 证明在
【答案】设
上,
, 则
所以
所以当
在时, 有
上严格单调递增.
. 即
设所以于是当
在时, 有,
因为
上严格单调递增.
, 即
故对
, 成立
与
，有
的大小并证明之；
成立的（你认为最好的）充分条件.
时于任意
的x
都成立
，则
（2）给出并证明使等式
二、解答题
6． 求
【答案】
所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积.
.