2018年四川师范大学数学与软件科学学院850数学专业综合[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）
（3）（4）【答案】设（1）（2）
（3〕
（4）
2． 设故只需考虑
故若当故若进而
证明数列
与级数
收敛, 必有时, 有
收敛必有
与
与级数
司的关系. 因为
收敛；若同时发散；当
收敛, 即有
收敛；若
发散, 则有
发散,
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.
发散, 必有
时
发散.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同,
则
（
为常数）
【答案】
注意到数列
的敛散性与正项级数
3． 设函数f 在区间I 上连续, 证明:
（1）若对任何有理数
有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0;
有. 又因为
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（2）若对任意两个有理数
由f 的连续性得
则f 在I 上严格增.
使. 当
, 所以
【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知,
存在有理数列
为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0. （2
）设有两个实数由使得当
而当
, 满足可知
,
时,
时
,
, 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得
,
两点连续.
,
存在
, 从而,
从而
. 再由
故f 在I 上严格递增.
4． 利用单调有界原理证明下列结论:
（1）设（2）设（3）
设且相等.
【答案】（1）因为
, 所以{Xn }单调递增. 由不等式
9
即{Xn }有上界, 从而数列{Xn }收敛. （2）因为
所以又因为
, 即{Xn }单调递减.
, 所以
即{Xn }有下界. 从而数列{Xn }收敛. （3）由已知所以当
时有
又
所以{Xn }单调递减, {以单调递增, 从而当
时, 有
因为
得
, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;
, 则
与
都存在
；
.
存在有理数
知,
和
（设
）,
.
对于正数
并且
因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在
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即{Xn }有下界, {Yn }有上界, 从而它们的极限都存在. 设其极限分别为x 和y , 则对
两边取极限得x=y.
二、计算题
5． 计算下列反常积分的值:
（1）（3）【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）令
, 则
, 由（3）的结论得
6． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
【答案】
设（1）若
为
f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.
内由拉格朗日中值定理有
这与
为可去间断点是矛盾的,
故F （x ）不存在.
为跳跃间断点.
成立. 而
这与
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;
（2）
（
4）
;
为可去间断点.
, 在和x 之间. 而
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在
（2）若
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有
为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.